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大一上学期高数复*课(绝对机密,内部试题)

发布时间:

祝大家考 出好成绩
赠2012级新同学

总复* (一)
一、研究函数连续 (间断) 与极限的方法 函数 研究对象 极限 研究工具 连续 研究桥梁

二、一元函数微分学及其应用
导数、 导数应用、 中值定理

三、一元函数积分法及其应用
定积分与不定积分

一、极限 1、重要的极限 sin x lim n n ? 1 或 lim n a ? 1 lim ?1 n ?? n ?? x ?0 x 1 1 x lim (1 ? ) ? e 或 lim (1 ? x) x ? e x ?0 x ?? x 2、常用的等价无穷小 ( x ? 0 )
1 2 1 ? cos x ~ x 2 ln( 1 ? x) ~ x

sin x ~ x

arctan x ~ x x x e ? 1 ~ x a ? 1 ~ x ln a

tan x ~ x arcsin x ~ x

(1 ? x) ? 1 ~ ? x
?

3、求极限的方法及举例 (1) 利用定义式验证极限 (2) 利用极限存在准则求极限 (3) 利用极限或无穷小的运算法则 (4) 利用函数的连续性求极限 (5) 利用等价无穷小与重要的极限 (6) 求未定型的极限 (洛必达法则) (7) 利用导数的定义求极限 (8) 利用中值定理求极限 (9) 利用泰勒公式求极限 (10)利用定积分求极限

求 极 限 的 基 本 方 法

其 它 方 法

求下列极限 例1:
3 ? e? x csc x 1 2 (1) lim [ sin ?( ) ] x 2 x ?0 2? x x

3?e csc x ln 2? x 解:原式 = lim e
x ?0

?x

1 1 ? x ? e? x lim ? ln (1 ? ) x ?0 sin x 2? x ?e
?x 0 ?1 ? e 1 1? x ? e ( ) lim ? 0 lim0 2 ? x ? x ? 1 x? x ?0 x (2 ? x) ?e ?e
?x

ln cos ? x ? arctan (2) lim
x ?0

x

4 ? x2 ln(1 ? 2 x) ? ln cos ? x

解:原式 = lim

ln( 1 ? cos ? x ? 1)

?

x 4 ? x2

x ?0

(?2 x) ? ln( 1 ? cos ? x ? 1)

2 1 cos ? x ? 1 ? ? ? ? lim ?? 2 4 x?0 cos ? x ? 1 4?

(3)

I ? lim sin ?1 ? 2 x ? tan ? x
x? 1 2

解: 原式 = lim t cot t
t ?0

?

令 1 ? 2x ? t
? 2

2

? lim
t ?0

t tan

?
2

t

?

(4) I ? lim

a x ? a sin x 1? 1? 2x
3

x?0

1 ? 1 ? 2x ?
3

a x ? 1 ~ x ln a a x ?sin x ? 1 解:原式 = lim x ?0 ? x3 ( x ? sin x) ln a 1 ? cos x 1 ? lim ? ln a lim ? ? ln a 3 2 x?0 x?0 ?3 x 6 ?x
1 ? x ? 1 ? tan x (5) I ? lim x x?0 2 x arcsin a ? x2 2 x ? tan x a 1 ? sec x a lim ? lim 解:原式 = ?? 2 x ?0 2 x 2 x?0 3x 6 2x a

(6) I ? lim ?

n ? a sin x

n?? n

x

dx

解 利用积分中值定理

I ? lim
(7)

sin ?

? ??

?

?a ? 0

n ?? ? n?a

I

1 n ? lim x n?? 0

?

a? xd x
0 ? xn a ? x ? xn a ? 1

解 利用估值定理

a ?1

?

1 n x d 0

? I ?0

1 a ?1 ? 0 x? n ?1

n??

8) 求极限 lim 解:

n ?? x

n ( n ? 1) 利用函数极限求做
n

lim
e

x ??
1 ln x x

x ( x ? 1) ? lim
?1

x ?1 x
? 1 2

1 x

x ??

0 型 0

? lim

x ??

x

1 ? 2

? lim

1 x

ln x
? 1 2

x ??

x

ln x ?0 ? lim x ?? x

二. 连续、可导
1. 函数的连续性、可导性

? 可去间断点 第一类间断点 ? ? 跳跃间断点 ? 2. 函数间断点 ? ? ? 无穷间断点 第二类间断点 ? ? 振荡间断点 3. 闭区间上连续函数的性质

例2:设 f (x) ?
确定常数 a , b

a(1 ? cos x) , 2 x 8 ,x b sin x ? ? et dt
0

x?0 x ? 0 连续
, x?0

x 解: f (x) 连续,? f (0 ? 0) ? f (0 ? 0) ? f (0) a(1 ? cos x) a sin x ? lim? f (0 ? 0) ? lim? f ( x) ? lim? 2 x ?0 x ?0 x ?0 x 2x a a ? 16 ? ? f (0) x 2 b sin x ? ? et dt 0 f (0 ? 0) ? lim ? lim? (b cos x ? e x ) x ?0 x ?0 x b?7 ? b ? 1 ? f (0)
?

例2: f (x) ? 设

a( 1 ? x ? 1) , x?0 x

1,
b (e
? 1 x

x?0

? 2) ? c ln( 1 ? x) , x ? 0

试确定 a, b, c,使 f ( x) 在 x ? 0 点可导
a 2b ? ? 1 解 : 由 f (0 ? 0) ? f (0 ? 0) ? f (0) 2 1 ? 当a ? 2 , b ? 时 f ( x) 在 x ? 0 点连续, 2 1 ? ? 由 f ? (0) ? f ? (0) c?? 4 1 1 ? 当a ? 2 , b ? , c ? ? 时, f ( x) 在 x ? 0 点可导, 2 4

例3 设 f ( x ) 在 [ 0 , 2a ] 上连续,且 f (0) = f (2a)
证明在 [ 0 , a ] 上至少存在一点 ? , 使 f ?? ? ? f ?? ? a ? 证: 令 F ? x ? ? f ? x ? ? f ? x ? a ? 在 x ? [ 0, 2a ] 上连续

F ?0? ? f ?0? ? f ?a ? ? f ?2a ? ? f ?a ? F ?a ? ? f ?a ? ? f ?2a ? ? ? F ?0?

F ?0?? F ?a ? ? 0

由闭区间上连续函数的定理可知: 在[ 0, a ]上至少存在一点 ? , 使 f ?? ? ? f ?? ? a ?

总复* (二)
一、计算导数的方法及常见的题型 1、利用导数的定义求做 适用于分段函数 2、利用导数公式和求导法则求做 要求:基本的公式表 导数与微分的四则运算 复合函数求导法则 隐函数的求导法则 参数方程求导

3、利用对数求导法求做

4、高阶导数的求法

二、微分中值定理 共性:函数满足一定条件时,在给定的开区间内 至少存在一点(中值),使得函数在该点的导数具有 某种性质 f (a) ? f (b) 拉格朗日中值定理 罗尔定理
g ( x) ? x f (a ) ? f (b)

g ( x) ? x

n?0
泰勒中值定理

柯西中值定理

三、导数的应用 1、利用导数定义求极限 2、导数的几何应用 讨论单调性、极值、 凸凹性、拐点、渐*线、 描述函数的性态、 曲率、 相关变化率

3、导数的物理应用 对于实际问题求解最值,即“用料最省”、“效
最高”、“成本最低”等 解决方法:建立目标函数,求做最值 4、证明不等式或恒等式

例1:求下列导数

? ()y ? ?arcsin(sin 1 ?
3 解:原式 = 2

2

1 )? x ?

3 ?2

? ?arcsin(sin ?
1

2

1 ? )? x ?

1 2

1 1 ?1 ? ? 2 sin ? cos ? 2 x x x 4 1 1 ? sin ( ) x

(2)

y ? f (ln x) e

f ( x)

1 f (x ) 解:原式 = f ' (ln x) ? ? e ? f (ln x) ? e f ( x ) f ' ( x) x ? f ( x) ? 1 ?e ? x f ' (ln x) ? f ' ( x) f (ln x)? ? ? y () e ? x y ? e, 求 y??( x) 3 解:原式两边同时求导 y y ? y? ? ? y e y ? ? y ? x y? ? 0 e ?x ?(e y ? x) ? y (e y y? ? 1) y y?? ? ? ?? y 2 (e ? x )

3 ? x ? ln( 1 ? t 2 ) d y (4) ? 求 3 dx ? y ? t ? arctan t dy dy 1 t 解: ? d t d x ? (1 ? ) ? 2 dx 2t 1? t 2 dt 1? t 2 2 2 d y d t ? ( ) dx ? 1 ? t 2 dt 2 dx 4t dt

d y d 1 t 1 1 1? t 2 t 4 ?1 ? ( ? ) dx ? (1 ? ) ? 3 3 2 d t 4t 4 dx 4 2t 8t t dt

3

例2:

解:

dF 例3、已知 F ( x) ? ? x f ( x ? t )d t , 求 0 dx 令u ? x ? t 2 2 x?x x 解: ? f ( x ? t ) d t ? ? f (u ) d (?u ) 0 x x x ? ? 2 f (u ) d u ? ? 2 f (t ) d t
x2 x? x x? x x dF ? ? 2 f (t ) d t ? x ? ? f (x) ? f ( x ? x 2?)(1 ? 2 x)? x? x dx

f ?x? ?2 例4、设 f ( x )具有连续的二阶导数,lim x?0 1 ? cos x 求 f ???0?.
解 由题意可知 lim f ? x ? ? 0 ? f ?0 ?

2 f ?( x ) 2 f ?x? f ?x? ? lim 2 ? lim ? lim x ?0 2 x x?0 x x ?0 1 ? cos x

x?0

? f ? ? 0? ? 0

? f ?? ? 0? ? 2

f ?? ? x ? ? lim ?2 x ?0 1

例5: f 1(x)在 ?0 , 1? 上连续,在 (0 ,1) 上可导,又 设 2 使 f (1) ? 2? f ( x)dx , 证在 (0 ,1) 内存在 ? , f ?(? ) ? 0
0

由积分中值定理 证明: 1 1 1 2 f (1) ? 2? f ( x)dx ? 2( ? 0) ? f (? ) ? f (? ) (0 ? ? ? ) 0 2 2 f (x)在 ?? , 1? 上连续, (? ,1) 上可导 在 由罗尔定理: 在 (? ,1)内存在? ,f ?(? ) ? 0 注:在题设中有定积分出现,通常将其按积分中 值定理先处理.

例6 设函数 f (x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b)内可导, 且 f ? x ? ? 0 x ? ? a, b ? , 若 f ?a ? ? f ?b ? ? 0 试证: f ??? ? 对任意实数 k ,存在点 ? ? a ? ? ? b ? 使 f ?? ? ? k 证明 即证 f ? ?? ? ? k f ?? ? ? 0 令 F ? x ? ? e? kx f ? x ? ? f ?a ? ? f ?b ? ? 0
? F ?a ? ? F ?b ? ? 0

由罗尔定理

?? ? (a, b) 使 F ? ?? ? ? e?k? [ f ? ?? ? ? k f ?? ?] ? 0 即 f ? ?? ? ? k f ?? ? ? 0

若 2、 f ??( x) ? 0 ,
求证: (a ? h) ? f (a ? h) ? 2 f (a) f

分析: f (a ? h) ? f (a ? h) ? 2 f (a)

? f ( a ? h) ? f ( a ) ? f ( a ? h) ? f ( a )
使用拉格 朗日定理

h f ?(?1 )

? h f ?(? 2 )
可证

h f ??(? )(?1 ? ? 2 ) ? 0

例7: 设 f ( x) 为[ 0 , ? ? ) 上单调减少的连续函数 ,
证明 ? ( x 2 ? 3 t 2 ) f (t )d t ? 0.
0 x

证明: 令 F ( x) ? ? ( x 2 ? 3 t 2 ) f (t )d t 0 ? F (0) ? 0 ? 只要证明 F ( x) 单调增加,

x

? F ?(x) ? [ x ? f (t ) d t ? 3? t f (t )d t ]? 0 0 x ? 2 x ? ? f (t ) d t ? x 2 f ( x) ? 3 x 2 f ( x)
2 x
0

x 2

? 2 x ? f (t ) d t ? 2 x 2 f ( x) ? 2 x [ f (? ) x ? x f ( x)]

x

? 2 x [ f (? ) ? f ( x)? ? 0
2

0

(0 ? ? ? x )

? F (x)单调增加

(下略)

例8: 设 a ? e, b ? 0 , 证明 (a ? b) a ? a a ?b 证明: 只要证明 a ln( a ? b) ? (a ? b) ln a 构造辅助 f ( x) ? a ln (a ? x) ? (a ? x) ln a ( x ? 0) a a (1 ? ln a) ? x ln a ? ln a ? f ?(x) ? ?0 a?x a?x

? f (b) ? f (0) ? 0 ? f (x)单减 ? a ln (a ? b) ? (a ? b)ln a

即 ( a ? b) ? a
a

a ?b

.

例9 设 f ? x ? 在 [a, b]上二阶可导,且 f ?a ? ? f ?b ? ? 0 f ? c ? ? 0 c ? ? a, b ? , 证明 ?? ? ? a, b ? , 使得 f ???? ? ? 0 证明 f ? c ? ? f ? a ? ? f ? ??1 ?? c ? a? a ? ?1 ? c f ? b ? ? f ? c ? ? f ? ??2 ?? b ? c? c ? ?2 ? b
f ?c? ? f ?c? ? 0 ? f ? ?? 2 ? ? ? f ? ??1 ? ? ?0 c?a b?c f ? ??2 ? ? f ? ??1 ? ? f ?? ?? ? ? ?0 ?2 ? ?1 ? ? ??1, ?2 ? ? ? a, b ?

? x ? ? ? ? f ? x ?] sin x 练*1 设 F ? x ? ? lim t [ f ? ? t ?? t? t ?
2

其中 f ( x )二阶可导,求 F( x ) 及 F ?? x ?.

f ? x ? ? t ? ? f ? x? 解 F ? x ? ? lim ? x ? ? x f ??x ? t ?? ? t ? F ?? x ? ? ? [ f ?? x ? ? xf ??? x ?] ??0? ? 2 求 I ? lim f ?sin x ? 2、 设 f ?0? ? 0 f x?0 e tan x ? 1 f ?sin x ? ? f ?0? 解 I ? lim ? f ??0? ? 2 x?0 tan x

x x sin ~ t t

sin x

3、设函数 求

在点

处可导,

解:原式 =

4、设 处连续,且 提示:

其中 求





总复* (三)
一、计算不定积分的方法

1、直接积分法
2、换元积分法

第一类换元积分(凑微分法) 第二类换元积分(变量代换法)

3、分部积分法(反、对、幂、指、三) 牛 - 莱公式 二、微积分基本定理间的关系

?

b

a

f ( x)dx ? f (? ) (b ? a) ? F ?(? )(b ? a) ? F (b) ? F (a)
积分中值定理 微分中值定理

三、常用的公式 (1) 熟记三角公式及万能代换 a 2? f ( x) dx , a 0 (2) ? f ( x) dx ? ?a 0, (3) 若 f (x) 以 l 为周期, 则

f (? x) ? f ( x) f (? x) ? ? f ( x)
2 ?l 2 l

?
?
0

a ?l a

f ( x) dx ? ? f ( x) dx ? ?
l

(4) ? x f (sin x) dx ?
?

?

0

f ( x) dx
?
2 0

? 2

?
?

0

f (sin x) dx ?? ?

f (sin x) dx

(5) I n ? ? 2 sin n x d x ? ? 2 cos n x d x
0 0

奇偶讨论

例1、 ?

x?2

2x2 ? 4x ? 5 4 x ? 4 ? 12 1 dx 解: 原式 = ? 4 2x2 ? 4x ? 5
dx 1 d (2 x 2 ? 4 x ? 5) ? 3? ? ? 2 4 2( x ? 1) 2 ? 3 2x ? 4x ? 5 3 d ( x ? 1) 1 2 ? 2x ? 4x ? 5 ? ? ( x ? 1) 2 ? 3 2 2 2 1 3 2 ? 2x ? 4x ? 5 ? ln ? x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 3 ? ? C 2 2 2

dx

例2、 ?

sin x cos xdx a sin x ? b cos x
2 2 2 2

1 d sin x 解: 原式 = ? 2 (a 2 ? b 2 ) sin 2 x ? b 2
2 2 2 2

2

1 dt 令 t ? (a ? b )sin x ? 2 2 ? 2 2 2(a ? b ) t ?b 1 2 2 ? 2 2 t ? b ? C ?? (a ? b )

2

例3、求 ? min 1, x 2 d x ?1 2 x , 解: min 1, x 2 ? 1 ,

2

?

?

1? x ? 2 1 2 5 2 原式 = ??1x d x ? ?1 1 d x ? 3

?

?

?1 ? x ? 1

例6、求

?

a ?? a

sin 2 x (tan x ? 1) d x
2

分析: 2 2 x 与 tan x 以? 为同期, sin 利用性质 解:原式 = ? 0 sin 2 x (tan x ? 1) d x ? 偶 奇 ? ? 2 sin 2 2 x (tan x ? 1) d x ?
2
? 2

?

? 2?

?
2

0

sin 2 x d x ? 2?
2

?
2 0

1 ? cos 4 x ? dx ? 2 2

例7、求下列积分
(1)

???

??

dx 2 x ? 4x ? 9
??

(2)

?1

2

dx x 3x 2 ? 2 x ? 1

dx 解 (1) 原式 = ? ?? ( x ? 2) 2 ? 5 ? 1 x ? 2 ?? ? arctan ?? ? 5 5 5

(2) ? lim f ( x) ? lim
x?1

1 x 3x 2 ? 2 x ? 1
? [? ? ?
1 2

x?1

??

?

x ? 1 是 f ( x) 的瑕点
2 1
?

原式 ? ?

dx
2

x 3x ? 2 x ? 1 1 1? 2 x ? ? ? arcsin 3 ? ? arcsin 1? 2 2 4

1 d (1 ? ) x ] 1 2 2 2 ? (1 ? ) x

sin x ? cos x 例8、求 ? dx ? 4 ? sin x ? cos x 令u? ?x 2 ? 10 sin x 2 解: ? dx 0 4 ? sin x ? cos x 0 sin 10 ( ? ? u ) 2 ? ?? ? du 4 ? sin( ? ? u ) ? cos( ? ? u ) 2 2 2
10 10 2 0

?

??

?
2 0

cos x dx 4 ? sin x ? cos x

10

所以,原式 = 0

例9、证明 ? e

4

x ( 4? x )

分析:

比较所证结果,只需证

?

4 0

e

0 x ( 4? x )

d x ? 2? e x ( 4? x ) d x
0 2 x ( 4? x ) 0

2

dx ? ? e
2

d x ? ? e x ( 4? x ) d x
2 2 u ( 4 ?u )

4

?

4

2

e

x ( 4? x )

d x ?? e
0

x ( 4? x )

dx ? ? e
0

du

改变积分限,只能考虑变量代换

x 2 4 由 u 2 0

可知, 令 x ? 4 ? u
证明略

例10: 设 f ( x) ? x ? x ? f ( x) d x ? 2? f ( x) d x求 f (x)
2

2

1

解: 记 A ? ? f ( x) d x,
0

2

0

B ? ? f ( x) d x
0
2

1

0

? f ( x) ? x ? A x ? 2 B
2

积分可得

?0 f ( x)d x ? ?0 ( x ? Ax ? 2B) d x 1 1 2 ?0 f ( x) d x ? ? 0 ( x ? Ax ? 2B) d x

2

2



8 A ? ? 2 A ? 4B 4 1 3 ? A? ,B? 1 A 3 3 B ? ? ? 2B 3 2

例11:

?0

2?

(cos x ? sin x) dx
5 5 2
2?

解: 原式 =

t ? ?u 2

? 2? (cos t ? sin t ) d t
10 10

?

?0 x ?? ?t ? 10 5 5 10 ? ? (cos t ? 2 cos t sin t ? sin t ) d t ??
?
?

(cos10 x ? 2 cos5 x sin 5 x ? sin 10 x) d x

?

0

?

? 8?

10 10 2 (sin 10 u ? cos10 u ) d u 4 2 (sin u ? cos u ) du ? 2 ? 0 ? ? 2 2 sin 10 u d u ? 8 ? 9 ? 7 ? 5 ? 3 ? 1 ? ? 0 10 8 6 4 2 2

?

?

例12 设函数 f ? x ? 在 [a, b] 上有连续的导数,且 b b 2 f ?a ? ? f ?b ? ? 0, ? f ? x ?d x ? 2 求 ? a x f ? x ? f ?? x ? d x.
a



?a x f ? x ? f ?? x ? d x ? ?a x f ? x ? d f ? x ? 1 b ? ? x d f 2 ?x? 2 a
b b

b b 2 1 2 ? [ x f ? x ? ? ? f ? x ? dx] a a 2
b 2 1 1 ? [? ? f ? x ? dx] ? [?2] ? ?1 a 2 2

例13 设 f (x) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 内可导。且 求证 ? f ? x ?dx ? ? 1 f 3 ? x ?dx f ?0? ? 0 0 ? f ?? x ? ? 1 ? ?0 ? ?0 ? ? 2 ? x f ?t ?dt ? ? x f 3 ?t ? d t 证 令 F ?x ? ? ? ? ? ?0 0 ? ? x x 2 3 F ??x ? ? 2? f ?t ?dt ? f ?x ? ? f ?x ?? f ?x ?[2?0 f ?x ?d x ? f ?x ?]
1 2

? f ?? x ? ? 0 ? f ? x ? ? f ?0? ? 0
x 0

0

令 G? x ? ? 2? f ?t ?d t ? f 2 ? x ?

G?0? ? 0

G?? x ? ? 2? f ? x ? ? f ? x ? f ?? x ?? ? 2 f ? x ??1 ? f ?? x ?? ? 0 ? F ?? x ? ? 0 ? F ?1? ? F ?0? ? 0

1 ? x8 1 dx 例14、? 8 ? x(1 ? x? ) d x x (1 ? x ) 换元 7 8 1 1? t x (1 ? x ) dt dx ? ? 解: 原式 = ? 8 8 8 t (1 ? t ) x (1 ? x )

1 1 2 1 2 ? ?( ? ) d t ? ln t ? ln 1 ? t ? C 8 t 1? t 8 8 1 1 8 ? ln x ? ln (1 ? x8 ) ? C 8 4 1 dx 练*1: ? 10 2 x (1 ? x )
提示: 分子分母同乘以

x , 变量代换

9

1 1 ln(1 ? ) ln(1 ? ) x dx ? x dx 2、 ? ? 2 1 x( x ? 1) x (1 ? ) x 1 1 ln(1 ? )d (1 ? ) x x ? ? ln(1 ? 1 )d ln(1 ? 1 ) ? ?? ? 1 x x 1? x

1 2 1 ? ? ln (1 ? ) ? C 2 x

例15 解

1 sin x 求 21 [ 8 ? ? x ?1 2 1 原式 ? 0 ? 21 ? 2

?

ln 2 (1 ? x) ]dx. ln(1 ? x) dx

?

??

0 1 ln(1 ? x)dx ? ? 2

?

1 2 ln(1 ? x)dx 0

3 3 1 ? ln ? ln . 2 2 2

例16、已知

f (x)为连续函数,且
0 x

求 f (x)在 ?0 , 2 ? 上的最值

?

2x

0

x f (t )d t ? 2? t f (2t ) d t ? 2 x 3 ( x ? 1)

解: 先求 f (x) , 原式两端同时对 x 求导

?

2x

0

f (t ) d t ? x f (2 x) ? 2 ? 2 x f (2 x) ? 8x ? 6x
3

2

原式两端同时再对 x 求导

f (2 x) ? 2 ? 24x 2 ? 12 x 下求最值 f ?( x) ? 6 x ? 3 f (0) ? 0 f (2) ? 6
最大值

f ( x) ? 3x( x ? 1) 1 x? 2 f (1) ? ? 3 2 4 最小值




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